Category Archives: Soal

Estimasi parameter pada variabel acak dengan distribusi Gamma

Misalkan x_1, x_2, \hdots , x_n adalah peubah acak terdistribusi gamma secara identik dan independen dengan parameter yang tak diketahui \alpha dan \beta. Sehingga x_i >=0, dan

    \[ f_x(x_1, x_2, \hdots, x_n ; \alpha, \beta)=\frac{\beta^{n\alpha}}{(\Gamma(\alpha))^n}\prod^{n}_{i=1} x^{\alpha-1}_i e^{-\beta \sum^n_{i=1} x_i} \]

persamaan tersebut akan memberikan fungsi log-kemungkinan berupa

    \[ L(x_1,x_2,\hdots,x_n;\alpha,\beta)&=& \log{f_x(x_1,x_2,\hdots,x_n;\alpha,\beta)} \]

    \[ &=&n\alpha \log{\beta}-n \log{\Gamma(\alpha)}+(\alpha-1)(\sum^n_{i=1} \log{x_i})-\beta\sum^n_{i=1}x_i \]

dengan melakukan diferensiasi atau turunan terhadap \alpha dan \beta, kita akan mendapatkan

    \[ \hat{\beta}_{ML}x_i=\frac{\hat_{\alpha}_{ML}}{\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i} \]

    \[ \log{\hat{\alpha}_{ML}}-\frac{\Gamma\'(\hat{\alpha}_{ML})}{\Gamma(\hat{\alpha}_{ML})}=\log{\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i}-\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}\log{x_i} \]

Untuk estimasi peubah acak tersebut, fungsinya sangat tidak linier.

Estimasi Tegangan Listrik dengan koefisien kepercayaan

Tegangan listrik v dari sebuah sumber tegangan diukur 25 kali. Hasil dari pengukuran merupakan sampel x_i=v+v_i dari variabel acak X=v+V dan rataan mereka \bar{x}=112 V. Temukan interval kepercayaan 0.95 dari V.
a) Misalkan bahwa simpangan baku dari X karena error V adalah s=0.4V. dengan d=0.05, Tabel normal menyatakan bahwa z_{0.975}\approx 2. dimasukkan pada rumus, kita mendapatkan interval

    \[ \bar{x }\pm (z_{0.975} \sigma)/\sqrt{n}  = 112\pm  0.4/\sqrt{25}=112\pm 0.16 V \]

b) Misalkan s tidak diketahui. Untuk mengestimasinya, kita menghitung variansi sampel dan menemukan s^2=0.36. memasukkan kedalam rumus, kita mendapatkan estimasi pendekatan

    \[\bar{x } \pm(z_{0.975} s)/\sqrt{n}  = 112\pm 0.6/\sqrt{25}=112\pm 0.24 V\]

Karena t_{0.975} (25)=2.06, estimasi tepat mengarah 112\pm 0.247 V.

(Papoulis, 2002)