Category Archives: Sains

Statistik Harapan Hidup Baterai

Harapan hidup baterai dari suatu merek tertentu dimodelkan dengan sebuah variabel acak normal dengan rata-rata η=4 tahun dan simpangan baku σ=6 bulan. Suatu mobil mempunyai baterai tersebut. Temukan prediksi interval harapan hidup baterai tersebut dengan koefisien konfiden γ=0.95.
Dalam contoh ini,
\delta=1-\gamma=0.05
u=1-\delta/2=0.975
z_{1-\delta/2}=2=-z_{\delta/2}
Hasil ini mengarah interval
\bar{x}\pm z_u \sigma=4\pm 2\times 0.5
Sehingga kita bisa mengharapkan dengan koefisien konfidensi 0.95 bahwa harapan hidup baterai kita akan berada di antara 3 dan 5 tahun.

Pengantar Ilmu Statistik

Probabilitas adalah sebuah disiplin ilmu matematika yang dikembangkan sebagai sebuah model abstrak dan konklusinya adalah deduksi yang berdasarkan atas aksioma-aksioma. Statistik menangani aplikasi dari permasalahan nyata dan konklusinya merupakan inferensi yang berdasar pada pengamatan. Statistik terdiri atas dua bagian: analisis dan desain.
Analisis, atau statistik matematis, adalah bagian dari probabilitas yang melibatkan utamanya ujicoba yang berulang dan kejadian dari probabilitas yang menndekati 0 atau 1. Hal ini mengarah pada inferensi yang bisa diterima sebagai mendekati kepastian. Desain, atau statistik terapan, menangani pengumpulan data dan konstruksi eksperimen yang secara cukup dijelaskan dengan model probabilistik.

(papoulis, 2002)

Distribusi Uniform Kontinyu (Seragam)

Salah satu distribusi kontinyu paling sederhana dalam semua statistika adalah distribusi uniform kontinyu. Distribusi ini dalam dicirikan dengan sebuah fungsi padat peluang yang datar, dan kemudian probabilitas uniform dalam sebuah interval tertutup misalkan [A, B]. walaupun aplikasi dari distribusi uniform kontinyu tidak banyak aplikasi untuk distribusi lain yang dibahas dalam bab ini, tapi sangat tepat untuk pemula untuk memulai pengantar pada distribusi kontinyu dengan distribusi uniform.

Distribusi Uniform. Fungsi padat peluang dari variabel uniform kontinyu dari variabel acak X pada interval [A,B] yaitu

    \[ f(n,A,B) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac{1}{B-A} & \quad {A\le x\le B}\\ 0 & \quad \text{lainnya} \end{array} \right.\]

 

Fungsi padat peluang membentuk persegi panjang dengan lebar B-A dan tinggi konstan tinggi \frac{1}{B-A},. Sebagai sebuah hasil, distribusi uniform sering disebut distribusi persegipanjang. Namun, Catat bahwa distribusi uniform mungki tidak selalu tertutup: [A,B]. bisa juga (A,B).
Probabilitas sederhana untuk dihitung untuk distribusi uniform karena sifatnya yang sederhana dari fungsi padat peluang. Namun, perlu dicatat bahwa aplikasi dari distribusi ini didasarkan pada asumsi bahwa probabilitas dari munculnya nilai dalam sebuah interval dengan panjang tetap dalam [A,B] adalah konstan.

Sifat-sifat Fungsi Variabel Acak

Untuk sebuah y tertentu, nilai dari x sehingga g(X)≤y membentuk himpunan pada sumbu x yang digambarkan dengan R_y. Secara jelas, g[X(ζ) ]≤y jika X(ζ) adalah sebuah bilangan dalam himpunan R_y. Sehingga
Pers 5.2

    \[F_Y (y)=P\{X\in R_Y\} \]

Pembahasan ini mengarah pada kesimpulan bahwa untuk g(X) menjadi sebuah variabel acak, fungsi g(x) harus mempunyai sifat-sifat ini:
- Domainnya harus termasuk range dari variabel acak X.
- Fungsi tersebut harus merupakan fungsi Borel, yaitu, untuk setiap y, himpunan R_y sehingga g(X)≤y harus terdiri atas gabungan dan irisan dari sejumlah interval yang dapat dicacah. Hanya kemudian {X≤y}.
- Kejadian {g(X)=±∞} harus mempunyai probabilitas nol.

Kejadian yang Dibangkitkan dari Variabel Acak

Dalam kajian variabel Acak, pertanyaan berikut muncul: Berapa peluang variabel acak x kurang dari sebuah bilangan x yang diberikan, atau berapa peluang bahwa x di antara bilangan x_1 dan x_2? Sebagai contoh, jika variabel acak adalah tinggi badan seseorang, kita mungkin ingin peluang tinggi tersebut tidak melebihi batasan tertentu. Seperti yang kita ketahui, probabilitas diberikan pada suatu kejadian; sehingga, untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita harus bisa menyatakan berbagai syarat yang dipetakan pada x sebagai kejadian.
Kita mulai dengan makna dari notasi
{x≤x}
Notasi ini mewakili sebuah himpunan bagian dari S yang terdiri atas semua keluaran ζ sehingga x(ζ)≤x. Kita menggabungkan maknanya: misalkan bahwa variabel acak x ditentukan dengan sebuah tabel. Pada sisi kiri kolom kita mendaftar semua elemen \zeta_i dari S dan pada sisi kanan nilai (bilangan) pasangan x(\zeta_i) dari x. Diberikan sebuah bilangan x sembarang, kita temukan semua bilangan x(\zeta_i) yang tidak melampaui x. elemen \zeta_i pasangan pada sisi kirim kolom membentuk himpunan {x≤x}. Sehingga {x≤x} bukanlah himpunan angka namun sebuah himpunan keluaran percobaan.
Makna dari

    \[\{x_1\le x\le x_2\}\]

Sama. Notasi tersebut adalah sebuah himpunan bagian dari S yang terdiri atas semua keluaran ζ sehingga x_1\le x(\zeta) \le x_2; di mana x_1 dan x_2 adalah dua bilangan yang diberikan.
Notasi
{x=x}
Adalah sebuah himpunan bagian S yang terdiri atas semua keluaran ζ sehingga x(ζ)=x.
Akhirnya, jika R adalah sebuah himpunan bilangan pada sumbu x, maka
{x∈R}
Mewakili himpunan bagian dari S yang terdiri atas semua keluaran ζ sehingga x(ζ)∈R.

Variabel Acak

Kita diberikan sebuah percobaan yang ditentukan oleh ruang S atau Ω, field dari himpunan bagian S yang disebut kejadian, dan probabilitas yang diberikan pada kejadian ini. Untuk setiap keluaran ζ dari percobaan ini, kita tugaskan sebuah bilangan x(ζ). Kita kemudian membuat sebuah fungsi x dengan domain himpunan S dan range sebuah himpunan bilangan. Fungsi ini disebut sebuah variabel acak jika ememnuhi syarat lunak tertentu yang aka diberikan.
Semua variabel acak akan dituliskan dalam huruf tebal. Simbol x(ζ) akan menandakan bilangan yang diberikan pada keluaran ζ tertentu dan simbol x akan menandakan aturan korespondensi antara elemen tertentu dari S dan bilangan yang ditugaskan pada nya. Contoh lain, x adalah tabel pasangan antara enam mata dadu dari dadu dengan enam bilangan 10,…,60. Domain dari fungsi ini adalah S={f_1,...,f_6} dan range nya adalah himpunan dari enam bilangan di atas. pernyataan x(f_2) adalah bilangan 20.

Pengertian Fungsi

Makna dari sebuah Fungsi. Sebuah variabel acak adalah sebuah fungsi yang domainnya adalah himpunan S dari semua keluaran percobaan. Untuk mempertegas konsep penting ini lebih jauh, kita ulas secara jelas gagasan dari sebuah fungsi. Seperti yang kita ketahui, sebuah fungsi x(t) adalah sebuah aturan pasangan antara nilai t dan x. Nilai dari variabel independen t membentuk sebuah himpunan S_t pada sumbu t yang disebut domain dari fungsi dan nilai dari variabel yang variabel dependen x membentuk himpunan S_x pada sumbu x yang disebut range dari fungsi. Aturan korespondensi antara t dan x bisa berupa sebuah kurva, sebuah tabel, atau sebuah rumus, sebagai contoh, x(t)=t^2.
Notasi x(t) digunakan untuk merepresentasikan sebuah fungsi , adalah ambigu: notasi tersebut mungkin berarti apakah itu bilangan tertentu x(t) yang berkorespondensi pada sebauh t tertentu, atau fungsi x(t) sebut saja, Aturan korespondensi antara tiap t dalam S_t dan korespondensi x dalam S_x. Untuk membedakan antara dua penafsiran ini, kita akan menotasikan penafsiran kedua dengan x, membiarkan ketergantungannya pada t dipahami.
Definisi dari sebuah fungsi bisa dinyatakan sebagai: kita diberikan dua himpunan bilangan S_t dan S_x. Untuk setiap t\in S_t kita menugaskan sebuah bilangan x(t) yang termasuk pada himpunan S_x. Hal ini mengarah pada generalisasi ini: kita diberikan dua himpunan obyek S_\alpha dan S_\beta yang terdiri atas elemen α dan β berturut-turut. Kita katakan bahwa β adalah fungsi terhadap α jika untuk setiap himpunan S_\alpha kita membuat pasangan sebuah elemen β dari himpunan S_\beta. Himpunan S_\alpha adalah daerah domain dari fungsi dan himpunan S_\beta jangkauannya.
Misalkan, untuk contoh, bahwa S_\alpha adalah himpunan anak dalam sebuah komunitas dan S_\beta himpunan dari bapak mereka. Pasangan dari seorang anak dengan bapaknya adalah sebuah fungsi.
Kita mencatat bahwa untuk sebuah α  terdapat sebuah pasangan tunggal β(α). Namun, lebih dari satu elemen dari S_\alpha mungkin dipasangkan dengan β yang sama (seorang anak hanya mempunyai satu bapak namun seorang bapa mungkin mempunyai lebih dari satu anak). Dalam sebuah contoh, domain adalah fungsi yang terdiri atas enam mata dadu. Namun, Range nya hanya mempunyai dua elemen sebut saja bilangan 0 dan 1.

Pengantar Variabel Acak

Sebuah variabel acak adalah sebuah bilangan x(ζ) yang diberikan pada setiap keluaran ζ dari sebuah percobaan. Bilangan ini bisa menjadi perolehan dalam sebuah permainan peluang, tegangan dari sebuah sumber acak, biaya dari sebuah komponen acak, atau kuantitas numeris lainnya yang berhubungan dengan unjuk kerja dari percobaan.

Contoh 4.1
Dalam sebuah percobaan dadu, kita memberikan enam keluaran f_i bilangan x(f_i )=10i
x(f_1 )=10,...,x(f_6 )=60
b) dalam percobaan yang sama, daripada di atas, kita memerikan bilangan 1 untuk tiap keluaran genap dan bilangan 0 untuk setiap keluaran ganjil. Sehingga
x(f_1 )=x(f_3 )=x(f_5 )=0,x(f_2 )=x(f_4 )=x(f_6 )=1

Pengantar Rekonstruksi Compressive Sensing

Compressive Sensing (Penginderaan Kompresif atau sampling/CS) telah menjadi area penelitian yang aktif dalam beberapa tahun ini karena sifat alami nya yang menarik dan kegunaannya yang praktis dalam sejumlah luas aplikasi. Misalkan f mewakili N×1 sinyal yang tidak diketahui, yang mana bisa dikompres dalam sebuah basis linear Ψ (seperti sebuah basis wavelet).  Dengan kata lain f=Ψw dimana w adalah sebuah sinyal renggang N×1, yaitu , sebagian besar koefisiennya nol. Perhatikan sistem akuisisi berikut:
Pers 1.

    \[y=\Phi' f+n\]

Di mana M×1 pengukuran linear y dari sinyal asal f yang tidak diketahui diambil dengan sebuah M×N  matriks pengukura \Phi^{'} =[\Phi^{'}_1 ,\Phi^{'}_2 ,..., \Phi^{'}_N ] dan n merepresentasikan derau akuisisi. Kita juga bisa menuliskan Persamaan 1 dalam bentuk koefisien transformasi renggang sebagai
Pers 2.

    \[y=\Phi w+n\]

Menurut teori, ketika jumlah pengukuran cukup kecil dibandingkan dengan jumlah koefisien sinyal (M≪N), di bawah kondisi tertentu sinyal asal f bisa direkonstruksi dengan sangat akurat dengan menggunakan algoritma rekonstruksi yang tepat. Compressive sensing bisa dilihat sebagai kombinasi akuisisi konvensional dan proses kompresi: secara tradisionalnya, sinyal f diperoleh dalam sebuah bentuk lossless diikuti oleh kompresi dimana hanya fitur penting yang disimpan, seperti koefisien wavelet yang terbesar. Dalam beberapa penelitian, telah ditunjukkan bahwa karena sinyal bisa dikompresi dengan melakukan sebuah pengurangan jumlah pengukuran dan memulihkan fitur terpenting dengan menggunakan sbeuah mekanisme sampling inkoheren, yaitu basis sensing Φ’ dan basis representasi Ψ mempunyai koherensi yang rendah. Hasil teoretis terkini menunjukkan bahwa matriks sampling acak menunjukkan koherensi rendah tersebut dengan dasar representasi. Perancangan determinisitik juga telah diusulkan dengan unjuk kerja yang sedikit berkurang.