Estimasi parameter pada variabel acak dengan distribusi Gamma

Misalkan x_1, x_2, \hdots , x_n adalah peubah acak terdistribusi gamma secara identik dan independen dengan parameter yang tak diketahui \alpha dan \beta. Sehingga x_i >=0, dan

    \[ f_x(x_1, x_2, \hdots, x_n ; \alpha, \beta)=\frac{\beta^{n\alpha}}{(\Gamma(\alpha))^n}\prod^{n}_{i=1} x^{\alpha-1}_i e^{-\beta \sum^n_{i=1} x_i} \]

persamaan tersebut akan memberikan fungsi log-kemungkinan berupa

    \[ L(x_1,x_2,\hdots,x_n;\alpha,\beta)&=& \log{f_x(x_1,x_2,\hdots,x_n;\alpha,\beta)} \]

    \[ &=&n\alpha \log{\beta}-n \log{\Gamma(\alpha)}+(\alpha-1)(\sum^n_{i=1} \log{x_i})-\beta\sum^n_{i=1}x_i \]

dengan melakukan diferensiasi atau turunan terhadap \alpha dan \beta, kita akan mendapatkan

    \[ \hat{\beta}_{ML}x_i=\frac{\hat_{\alpha}_{ML}}{\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i} \]

    \[ \log{\hat{\alpha}_{ML}}-\frac{\Gamma\'(\hat{\alpha}_{ML})}{\Gamma(\hat{\alpha}_{ML})}=\log{\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i}-\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}\log{x_i} \]

Untuk estimasi peubah acak tersebut, fungsinya sangat tidak linier.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>